Τι (ποιος) είναι Показательная функция - ορισμός
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ A^X
Потенцирование (математика); Антилогарифм
Показательная функция
f (z) = ez,
обозначается иногда expz; встречается в многочисленных приложениях математики к естествознанию и технике. Для любого значения z (действительного или комплексного) П. ф. определяется соотношением
Очевидно, что e0 = 1; при n = 1 значение П. ф. равно е - основанию натуральных логарифмов. П. ф. обладает следующими основными свойствами:
при любых значениях z1 и z2, кроме того, на действительной оси (рис.) П. ф. ex > 0 и при n → ∞ возрастает быстрее любой степени х, а при х → - ∞ убывает быстрее любой степени 1/x:
каков бы ни был показатель n. Функцией, обратной по отношению к П. ф., является Логарифмическая функция: если ω = ez, то z = lnω.
Рассматривается также П. ф. az при основаниях а > 0, отличных от е [например, в школьном курсе математики для действительных значений z = х рассматриваются П. ф. 2x, (1/2) x и т.д.]. П. ф. az связана с П. ф. ez (основной) соотношением
az = ezlna.
П. ф. ex является целой трансцендентной функцией (См. Трансцендентные функции). Она допускает следующее разложение в степенной ряд:
сходящийся во всей плоскости z. Равенство (1) также может служить определением П. ф.
Полагая z = х + iy, Л. Эйлер получил (1748) формулу:
ez = ex+iy = ex (cosy + isiny), (2)
связывающую П. ф. с тригонометрическими функциями (См. Тригонометрические функции). Из неё вытекают соотношения:
Функции
называются гиперболическими функциями (См. Гиперболические функции), обладают рядом свойств, сходных со свойствами тригонометрических функций, и играют наряду с последними важную роль в различных приложениях математики.
Из соотношения (2) следует, что П. ф. (комплексного переменного z) имеет период 2πi, то есть ez+2πi = ez или e2πi = 1. Производная П. ф. равна самой функции: (ez)' = ez.
Указанными свойствами П. ф. определяются её многочисленные приложения. В частности, П. ф. выражает закон (т. н. закон естественного роста), определяющий течение процессов, скорость которых пропорциональна наличному значению изменяющейся величины; примером могут служить химические мономолекулярные реакции или, при известных условиях, рост колоний бактерий. Периодичность П. ф. комплексного переменного наряду с другими её свойствами является причиной, по которой эта функция играет исключительно важную роль при изучении всяких периодических процессов, в частности колебаний и распространения волн.
Рис. к ст. Показательная функция.
ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ
(экспоненциальная функция) , функция y = ex; обозначается иногда exp x; встречается в многочисленных приложениях математики. Рассматриваются также показательные функции ax при основаниях а > 0, а ? 1 [напр., 2х, (1/2)х и т. д.].
Показательная функция
Показательная функция — математическая функция f(x) = a^x, где a называется основанием степени, а x — показателем степени.
Βικιπαίδεια
Показательная функция
Показательная функция — математическая функция , где называется основанием степени, а — показателем степени.
- В вещественном случае основание степени — некоторое неотрицательное вещественное число (для отрицательных чисел возведение в вещественную нецелочисленную степень не определено), а аргументом функции является вещественный показатель степени.
- В теории комплексных функций рассматривается более общий случай, когда аргументом и показателем степени может быть произвольное комплексное число.
- В самом общем виде — , введена Лейбницем в 1695 г.
Особо выделяется случай, когда в качестве основания степени выступает число e. Такая функция называется экспонентой (вещественной или комплексной). При этом из-за того, что любое положительное основание может быть представлено в виде степени числа е, понятие «экспонента» часто употребляют вместо понятия «показательная функция».
